经典力学手记：从零开始的Noether's Theorem

诺特定理（Noether's Theorem）作为理论物理的重要结论之一，它表达了：系统的连续对称性与守恒量一一对应。该定理由二十世纪著名女数学家Emmy Noether发现，因其优美而深刻，被爱因斯坦评价为“penetrating mathematical thinking”。

鉴于许多教材的叙述都采取了复杂的数学记号，使得初学者难以理解，因此本文旨在：以拉格朗日力学的常识作为基础，使用接地气（不含场论、李代数）的语言和更清晰的推导过程，帮助初学者快速了解诺特定理的推导及应用。

诺特定理（基础版）

不妨从一个简单版的诺特定理陈述^[1]开始。

首先，既然诺特定理是阐明了“系统的连续对称性与守恒量”对应关系的定理，因此在开始之前，有必要阐释清楚”对称性“的含义。对称性，即是”变换下的不变性“。是在变换下体现的。变换这一概念经常容易给初学者造成困惑。实际上，变换的意思就是把系统中某个量，以某一方式加以改变。对于广义坐标$q$的变换，可以写成$q \to q'$。而$q'$又可以用对$\epsilon$连续的函数$q'(\epsilon)$表示。这个函数表达了一种变换方式。譬如对某一方向进行平移，那么$q'(\epsilon)$可以写成

$$ q'(\epsilon) = q + \epsilon \cdot n $$

的样子。其中$\epsilon$描述的是“进行多少程度的这个变换”。

诺特定理讨论的是所谓的“无穷小变换（infinitesimal transformation）”，从这个意义上讲，显然，$\epsilon$的取值应该很小。当$\epsilon=0$时，这个变换后的$q'$是等于$q$的。

好，接下来可以叙述我们的基础版诺特定理了：

诺特定理（基础版） 如果系统的拉格朗日量在连续无穷小变换$q \to q' = q'(\epsilon)$（$\epsilon$是一阶小量）下不产生改变，

$$ L \left( q'(\epsilon) , \dot{q’} (\epsilon) \right) - L \left( q , \dot{q} \right) = 0, \\ \iff \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \left( q'(\epsilon) , \dot{q’} (\epsilon) \right) \right|_{\epsilon=0} = 0 $$

则系统存在守恒量

$$ \Lambda = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}. $$

证明：

首先，

$$ \begin{align} 0 = \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \left( q'(\epsilon) , \dot{q'} (\epsilon) \right) \right|_{\epsilon=0} \\ = \left. \frac{\partial L} {\partial q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} \dot q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \tag{1.1} \end{align} $$

又因为有欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）：

$$ \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right) $$

将它代入之前的式子1.1中，

$$ 0 = \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right) \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} \dot q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \left. \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}\right) $$

因此，得到守恒量（又称运动积分）

$$ \Lambda = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}. $$

QED.

这就是基础版诺特定理的叙述和证明，我想大多数读者都会认为：嘛，原来这就是诺特定理，其实也没有那么难呀。诚然，诺特定理的核心本来也并不复杂。

为了帮助大家活学活用，我们不妨来找一些例子，用来加深理解。

Ex 1. 自由粒子的动量守恒与角动量守恒

自由粒子的拉格朗日量可以写作

$$ L = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2. $$

如果考虑一个空间平移变换，即上文提到的$\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}}$这个变换下，存在不存在守恒量？先验证拉格朗日量在这个变换下是否改变：由于拉格朗日量不含位移项，自然满足

$$ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = 0, $$

因此存在守恒量

$$ \begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot x } \frac{ \mathrm{d} x'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot y } \frac{ \mathrm{d} y'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot z } \frac{ \mathrm{d} z'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = p_x \cdot n_x + p_y \cdot n_y + p_z \cdot n_z \\ & = \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{n}}. \end{align} $$

该守恒量代表的是粒子的动量在平移变换方向的投影，通俗讲，意思就是粒子动量在$\hat{\mathbf{n}}$方向是守恒的。

再考虑绕着$\hat{\mathbf{n}}$轴的旋转变换

$$ \mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}, $$

出于同样的理由（$L$不含$\mathbf{r}$项），有

$$ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = 0, $$

因此，存在守恒量

$$ \begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot x } \frac{ \mathrm{d} x'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot y } \frac{ \mathrm{d} y'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot z } \frac{ \mathrm{d} z'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = \mathbf{p} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}). \end{align} $$

通过简单的矢量关系，

$$ \Lambda = \mathbf{p} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}) = (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \cdot \hat{\mathbf{n}}, $$

显然，这就是角动量在$\hat{\mathbf{n}}$轴方向的投影。这意味着$\hat{\mathbf{n}}$方向的角动量守恒。

Ex 2. 球对称势场下的动量守恒和角动量守恒

需要提醒大家注意的是，诺特定理是用来获得某个特定系统的守恒量的工具。因此，对于不同系统，不同拉格朗日量，不能一概而论。

比如说，在球对称势场下，拉格朗日量表达式如下

$$ L = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 - V(r). $$

这个场景下，还存在动量守恒吗？在平移变换$\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}}$下，

$$ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r') \cdot \frac{\partial \mathbf{r'}}{\partial \epsilon} = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r') \cdot \hat{\mathbf{n}} $$

¹因此，

$$ \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \right|_{\epsilon=0} = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r) \cdot \hat{\mathbf{n}} $$

显然，只有当$\nabla_\mathbf{r} V$的方向垂直于$\hat{\mathbf{n}}$时，即力的方向垂直于平移方向的时候，才存在守恒量

$$ \Lambda= \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{n}}. $$

读者应该明白，球对称势场是方向朝向势场中心的力形成的²。因此，上式表明，垂直于的指向中心的方向动量守恒。虽然此例中动量守恒依然存在，但是条件更为严格。

对于角动量而言，旋转变换$\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}$下，

$$ \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \right|_{\epsilon=0} = -\nabla_\mathbf{r} V \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}), $$

既然$\nabla_\mathbf{r} V$指向势场中心，所以该点乘必然得0。所以角动量守恒依然存在，

$$ \Lambda = (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \cdot \hat{\mathbf{n}}. $$

不过值得注意的是，角动量的$\mathbf{r}$的起点已经不能任意决定了。只有从势场中心出发的$\mathbf{r}$对应的角动量在系统中才是守恒量。

另外，既然是球对称势场，采用球坐标系$(r, \theta, \phi)$来描述应该更能反映系统的对称性。于是拉格朗日量可以写成

$$ L = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \sin^2{\theta}) - V(r). $$

考虑沿$\theta$和$\phi$方向的旋转：

$$ \mathbf{r} \to \mathbf{r'} = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \theta_0 \hat{\mathbf{\theta}} + \epsilon \cdot \phi_0\hat{\mathbf{\phi}} $$

由于拉格朗日量中根本不含$\theta$和$\phi$，因此变换下拉格朗日量显然不会改变。由此产生的守恒量：

$$ \begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot r } \frac{ \mathrm{d} r'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot \theta } \frac{ \mathrm{d} \theta'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot \phi } \frac{ \mathrm{d} \phi'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = 0+mr^2\dot \theta \cdot \theta_0 + mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \phi_0 \\ \end{align} $$

考虑到

$$ \mathbf{L} = m r \hat{\mathbf{r}} \times (\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot \theta\hat{\mathbf{\theta}} + r \dot \phi \sin \theta \hat{\mathbf{\phi}}) = mr^2\dot \theta \cdot \hat{\mathbf{\phi}} - mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \hat{\mathbf{\theta}} $$

将$\Lambda$拆分成

$$ \begin{align} \Lambda & = (mr^2\dot \theta \cdot \hat{\mathbf{\phi}} - mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \hat{\mathbf{\theta}}) \cdot (\theta_0 \hat{\mathbf{\phi}} - \phi_0 \hat{\mathbf{\theta}}) \\ & = \mathbf{L} \cdot (\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{n}}). \end{align} $$

意思就是，角动量沿转动变换的转动轴方向的投影守恒。

诺特定理（进阶版）

我们的基础版诺特定理只考虑了拉格朗日量保持不变的情况。这也必然限制了其不能够用于对时间的变换上（试想如果有个变换伸长了时间，那么变换前后拉格朗日量的一一对应都是成问题的）。

如果要讨论时间变换的问题，我们需要把目光从拉格朗日量移到作用量上。如果系统的作用量（Action）在变换下拥有对称性（保持不变），那么系统是否也存在守恒量？

在继续进行以前，需要对变换这个概念再说两句。上文提到的变换，形式普遍都很简单，无非是一个$\epsilon$的线性函数。然而实际上变换的形式可以非常复杂。不过作为无穷小变换，产生的改变总是微小的。我们可以采用变分法传统，使用$\delta$记号来表示这个微小的变化：

$$ q \to q' = q + \delta q $$

之后都会用这种方式表示“无穷小变换”。

不考虑时间变换的形式

回到正题，我们先把作用量的表达式写出来：

$$ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) $$

如果我们暂且先不考虑时间变换的问题，那么事情不会很复杂。在变换

$$ q(t) \to q'(t) = q(t) + \delta q(t) $$

下，我们可以直接写出

$$ \begin{align} 0 & = S[q+ \delta q] - S[q] \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t) + \delta q(t), \dot q(t) +\delta \dot q(t), t\right) - \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left(L \left(q(t) + \delta q(t), \dot q(t) +\delta \dot q(t), t\right) - L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q(t) \right) \end{align} $$

这里进行了一阶近似。故技重施，代入又欧拉-拉格朗日方程：

$$ \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right), $$

得到

$$ \begin{align} 0 & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right) \delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\delta q(t) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) \right) \right). \end{align} $$

对$\delta q(t)$做一阶近似，

$$ \delta q(t) = \epsilon \Psi(q, t), $$

可以得到

$$ 0=\epsilon\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q, t) \right) \right). $$

又考虑到$t_1,t_2$可以任取，因此必有守恒量

$$ \Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q, t). $$

实际上，这就是之前的结果，没有任何新意。如果我们加上时间变换，事情就复杂了。

考虑时间变换的形式

考虑时间变换

$$ t \to t' = t + \delta t, $$

以及空间变换

$$ q(t) \to q'(t') = q(t) + \delta q(t). $$

这个变换有个特别重要的问题：等式左边的自变量是$t'$，右边是$t$。因此$\delta q(t)$既包含了$q$的变换，也包含了$t$的变换。对于另一种只考虑$q$不考虑$t$的变换，按照Goldstein^[2]的记法，采用$\bar{\delta}$来表达：

$$ q(t) \to q'(t) = q(t) + \bar{\delta} q(t). $$

从作用量不变出发可以写出

$$ \begin{align} 0 & = S[q'(t')] - S[q(t)] \\ & = \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} \mathrm{d}t' L \left(q'(t') , \dot q'(t') , t' \right) - \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \\ \end{align} $$

对于左手边，因为$t'$是积分变量，换成谁都无所谓，于是将其改为$t$。另外，把左手边拆成三截：

$$ \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} = \int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1} $$

则上式可以写成

$$ \begin{align} 0 & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left(L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) - L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & +\int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\partial L \left(q(t), \dot q(t), t\right)}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial L\left(q(t), \dot q(t), t\right)}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) \right) \\ & +\int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \end{align} $$

这里对两个$L$的差做了线性近似。之后就可以故技重施，代入又欧拉-拉格朗日方程。注意这里利用了$\bar{\delta} \dot q(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t } \bar{\delta} q(t)$的性质。由之前给出的变换的表达式可以看出来这个性质对$\delta q$而言是没有的。

对前一项施用欧拉—拉格朗日方程，后两项佐以积分中值定理，上式可以改写成

$$ \begin{align} & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) - \delta t_1 L \left(q'(t_1), \dot q'(t_1), t_1\right) + \delta t_2 L \left(q'(t_2), \dot q'(t_2), t_2\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) + \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \delta t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \right) \end{align} $$

第一项中的量已经全部改写成是$q,\dot q$的函数了。为了保持一致，对后一项进行一样改写：

$$ =\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) \\ + \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\left( \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) + \delta t \left( \frac{\partial L}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) \right) \right) \tag{2.1} $$

后一项出现了$\delta t \cdot \bar{\delta} q(t)$，这是高阶小量，略去不计，得到

$$ =\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) + \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) $$

同时，由于$q$的变换往往都用$\delta q$给出，因此也需要$\bar{\delta} q(t)$进行改写：

$$ \begin{align} \bar{\delta} q(t) - \delta q(t) = q'(t) - q'(t') \\ & = q(t) - q(t') + (\bar{\delta} q(t) - \bar{\delta} q(t')) \\ & = - \dot q \delta t - \frac{\mathrm{d} \bar{\delta} q(t)}{\mathrm{d} t} \delta t \\ & = - \dot q \delta t \end{align} $$

上面略去了高阶小量。带回原式，得到

$$ \begin{align} 0 & =\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} (\delta q(t) - \dot q \delta t) + \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right)\delta t \right). \end{align} $$

这基本上就是我们期望的最终形式了。对$\delta t$和$\delta q$做一阶近似：

$$ \delta t = \epsilon X(q,t), \delta q = \epsilon \Psi(q,t) $$

则上式化为

$$ 0 = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) \right) $$

所以，我们断言守恒量$\Lambda$是

$$ \Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t). $$

注意到后一项括号中的$L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q = -H$ 。如果系统作用量在时间平移（$\Psi=0, X=1$）下不变（拉格朗日量不显含时间就是一个最好的例子），我们可以由此立即导出能量守恒：

$$ \Lambda = H. $$

Ex 3. 平方反比势下的粒子运动

为了演示作用量不变下，如何用诺特定理获知系统的守恒量，这里考察一个平方反比势下粒子的运动^[4]。

首先写出系统的作用量

$$ S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - \frac{\alpha}{x^2} \right) \mathrm{d}t. $$

我们的变换来自Weyl对称性（Weyl symmetry）：

$$ t \to t' = \lambda t, \quad x \to x'(t') = \sqrt{\lambda} x(t). $$

在这个变换下，速度

$$ \dot x \to \dot x' = \frac{\mathrm{d} (\sqrt{\lambda} x)}{\mathrm{d} (\lambda t)} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \dot x $$

首先验证作用量不变：

$$ \begin{align} S' & = \int_{\lambda t_1}^{\lambda t_2} \left( \frac{1}{2}m \dot{x'}^2 - \frac{\alpha}{{x'}^2} \right) \mathrm{d}t' \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{1}{2}m \frac{\dot{x}^2}{\lambda} - \frac{\alpha}{\lambda{x}^2} \right) \lambda \mathrm{d}t \\ & = S. \end{align} $$

因此，存在守恒量

$$ \Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot x} \Psi + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot x} \dot x \right) X. $$

对上述变换进行一阶展开：

$$ t \to t' = t + \epsilon t, \quad x \to x'(t') = x(t) + \frac{1}{2} \epsilon x(t), \\ \implies \Psi = \frac{1}{2} x(t), \quad X = t. $$

从而守恒量

$$ \Lambda = \frac{1}{2} mx\dot x - \left( \frac{1}{2}m \dot{x}^2 + \frac{\alpha}{x^2} \right) t. $$

带有边界项的形式

另外，就算作用量之差不等于0也不意味着没有守恒量。如果

$$ S[q'(t')] - S[q(t)] = \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K\left(q'(t) , \dot q'(t), t\right) \right), $$

即作用量之差的积分号里多出了一个时间的全微分，而且$K$是以$\epsilon$同阶的小量³，那么也可以找到守恒量。由于积分与微分直接相抵，实际上相当于$t_2$与$t_1$处$K$的相减，因此叫做边界项。

线性化处理并略去高阶小量：

$$ K\left(q'(t) , \dot q'(t), t\right) = \frac{\partial K}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial K}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) + K(q(t),\dot q(t), t) \\ = K(q(t),\dot q(t), t) $$

改写成2.1式，在其中加入边界项：

$$ \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K \right) + \delta t_2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K - \delta t_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right)\delta t \right), $$

略去左边$\delta t$与$K$相乘产生的高阶小量，并将$K$用$K = \epsilon \cdot \partial K / \partial \epsilon$展开，得到守恒量

$$ \Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) - \frac{\partial K}{\partial \epsilon}. $$

综上所述

我们终于可以写出诺特定理的表述：

诺特定理（进阶版） 如果在无穷小变换

$$ t \to t' = t + \delta t = t + \epsilon \Psi(q, t), \\ q(t) \to q'(t') = q(t) + \delta q(t) = q(t) + \epsilon X(q, t) $$

下，系统的作用量的改变量满足

$$ S[q'(t')] - S[q(t)] = \int \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K \right), $$

其中$K$与$\epsilon$是同阶小量，则有守恒量

$$ \Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) - \frac{\partial K}{\partial \epsilon}. $$

注：本文进阶版的推导过程，是参考了几个方面之后建立起来的：大致框架来自于Goldstein[2]，对于边界项K的处理思路主要来自梁坤淼[3]和[4]。值得注意的是[4]没有特别处理时间变换的问题，而是把时间变换引入的项当做是K处理了，这样做行不行得通，我个人不是很肯定。

参考文献

John Baez, Noether's Theorem in a Nutshell, (2002).
Hebert Goldstein et al., Classical Mechanics, 3rd Edition, Addison Wesley (2001).
梁坤淼, 力学（第四版）下册, 高等教育出版社 (2009).
Max Banados and Ignacio Reyes, A short review on Noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, Int.J.Mod.Phys. D25 (2016), arXiv:1601.03616.
Daniel Arovas, Physics 200A : Lectures and Reading.

¹ 此处的记号遵循了Griffith的记法，

$$ \nabla_{\mathbf{r}}V(r') = \left(V'(r') \frac{\partial r'}{\partial x},V'(r') \frac{\partial r'}{\partial y},V'(r') \frac{\partial r'}{\partial z} \right). $$

² 因为：

$$ \nabla_\mathbf{r} V(r) = \left(\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} \right) = \frac{\partial V(r)}{\partial r} \cdot \hat{\mathbf{r}}. $$

³ 这一点在梁老师的书^[3]中没有明示，但是在79页上方的第二行推导中的线性化处理暗示了这一点。同样，虽然[4]中的2.18式并没有解释清楚$K$的取值要求，但是根据下文的例子，以及如果$K$与$\epsilon$不同阶时，除以$\epsilon$会出现无穷大问题，都暗示了$K \sim \epsilon$。